Deleuze: Granulación Spinozista VS. Granulación Xenakiniana (Espacio liso 6)

La serie de reflexiones sobre los fenómenos musicales que habitan o forman un espacio lliso tuvo su origen en una lectura de un libro sobre la filosofía de Gilles Deleuze: Music after Deleuze de Edward Campbell. Sugiere, o así lo entendí, que podemos percibir o componer música que forme un espacio estriado, caracterizado por ser de carácter discreto y por fundarse en el uso de escalas musicales, que dividen el contínuo en fragmentos discretos llamados notas musicales. Este tipo de espacio sería el creado o habitado por casi toda la música occidental tradicional, con algunas excepciones. Pero el sonido como tal forma un contínuo similar a un espacio liso, regido en todo caso por el sistema de los números reales. Muchos compositores del siglo XX han fijado su atención a este espacio sonoro. Se trata de una música donde se rompe Lo percibimos en la música de autores como Edgard Varèse, Gyorgy Ligeti, Iannis Xenakis. También en algunas obras de Arnold Schoenberg y Krzysztof Penderecki. Las obras de estos autores suele ser un proceso o evolución sonora donde los colores o timbres y las texturas, así como un cuidado tratamiento de las dinámicas, cumplen un papel protagonista, desplazando la importancia que genralmente se otorga a la melodía y, en consecuencia, a la altura de los sonidos, previa una clasificación en términos de una subdivisión del continuo sonoro en las notas musicales de la escala temperada. Ya hemos hablado de esto en otros post anteriores, incluso hemos comentado, en un post dedicado a las ideas del compositor canadiense Barry Truax, cómo es posible lograr un control más fino de las texturas y los colores mediante el empleo de síntesis granular y cómo este modelo, empleado en la creación de sonidos por computadora, ha sido aplicado por compositores como Iannis Xenakis en obras para instrumentos musicales. Esto nos da un marco teórico interesante para el estudio y creación de obras que buscamos ubicar en lo que aquí hemos llamado un espacio liso.

Sin embargo, repensando un poco el modelo granular propuesto por Gabor para la percepción del sonido, considerando la plasticidad y potencia de la síntesis granular y cómo autores como Xenakis han intentado darle a este procedimiento un cuerpo a través de instrumentos musicales, dado que este modelo de percepción hace posible controlar parámetros de las superficies auditivas creadas, de manera que nos podemos mover entre texturas lisas y rugosas, incluso estriadas, todas ellas contínuas, parece que debería replantearse la distinción liso-estriado tal como la hemos venido pensando. Así que la idea de identificar un espacio discreto con uno estriado parece quedar superada por otra idea, la de un espacio continuo único que puede manisfestarse a través de una multiplicidad de texturas. La visión que nos dominaría entonces es la de una realidad material sonora constituida por una multitud infinita de granos.

La aplicación de esta concepción granular de la materia no se limitaría al sonido y la música. Encontramos en la filosofía de Gilles Deleuze, específicamente, en las últimas páginas de su libro Spinoza: Filosofía Práctica, interpretación de la ontología de Baruch Spinoza (1632-1677). Deleuze usa la música como modelo de vida, concediendo a la forma musical y a la materialidad del sonido un carácter específicamente ético.

Lo que importa es concebir la vida, cada individualidad vital, no como una forma o un desarrollo de la forma, sino como una relación compleja entre velocidades diferenciales, en­tre freno y aceleración de partículas. Una composición de velocidades y de lentitudes en un plan inmanente. Del mismo modo, una forma musical depende de una relación compleja entre velocidades y remansos de las partículas sonoras. Esto no sólo afecta la música, afecta también la ma­nera de vivir; con velocidad y con parsimonia nos metemas entre las cosas, nos juntamos a otra cosa; nunca se empieza, nunca se hace tabla rasa: uno se desliza por en­tre, uno penetra en medio de, uno se acomoda a o impo­ne ritmos.

Barruch Spinoza (1632-1677)

Esta comparación supone cierta concepción de cuerpo así como cierta manera de entender la música que contrasta con las respectivas concepciones tradicionales. La idea general es que, en la ontología monista e inmanentista Spinoza, los individuos mantienen relaciones que se expresan en forma afectiva. Esas relaciones que van determinando su ámbito  de acción. Esas relaciones son de una naturaleza tal que propician la composición de individuos para formar un cuerpo cada vez mayor, que se abre al infinito. Similar a la idea heideggeriana de apertura al mundo característica de los individuos humanos, en la ontología spinozista los individuos se abren a una infinidad de relaciones afectivas que ponen a cada uno en constante variación y componiendo junto a otros individuos cuerpos mayores y más complejos. Deleuze recuerda como Jackob von Uexküll, pionero de la etología, propone una comprensión del mundo en la que éste aparece como un proceso «cada vez más extenso e intenso», especie de sinfonía de la Naturaleza, donde ésta sería el Individuo más intenso y más amplio, constituido como resultado de las infinitas maneras en que varían sus partes.

Uexküll, uno de los principales fundadores de la etología, es spinozista cuando define primero las líneas melódicas o las relaciones de contrapunto que corresponden a cada cosa y cuando, luego, describe una sinfonía como unidad superior inmanente que toma amplitud («composición na­tural»).

Si lo vemos desde una perspectiva matemática, el mundo, desde el punto de vista spinoziano, se constiyuye por transformaciones que son el resultado de la insesante variación de individuos cada vez más simples. En esos procesos de microvariación, cada ser atrae a otro a su mundo, conservando o respetando sus propios mundos y relaciones, así como en la teoría matematica de las categorías cada funtor que conlleva de un objeto a otro consiste en una transformación que conserva las relaciones propias de cada individuo. De  hecho, cuando hablamos aquí de composición bien podríamos pensar en el concepto de composición de funciones. Dado que el mundo vital es el resultado de innumerables variaciones de entidades cada vez más simples, podría decirse que en la lectura deluziana de Spinoza ese mundo se constituye por un proceso de síntesis similar al que caracteriza a la llamada síntesis granular. En ética podríamos hablar entonces de un grano spinozista.

Hemos visto que Xenakis propone un método de composición basado en el modelo granular de Gabor. En su libro Formalized Music Xenakis explica detalladamente cómo aplica esta concepción en sus composiciónes. Aby Cimini, en «Gilles Deleuze and the Musical Spinoza», compara la concepción granular que tiene Xenakis del cuerpo musical con la concepción granular que Deleuze deriva de la ontología Spinozista acerca de las relaciones inmanentes entre mente y cuerpo. Ella cita un pasaje de Formalized Music donde Xenakis describe su método de crear texturas sonoras a partir de diminutos granos de sonidos. 

A complex sound may be imagined as a multi-colored firework in which each point of light appears and instantaneously disappears against a black sky. But in this firework there would be such a quantity of points of light organized in such a way that their rapid and teeming succession would create forms and spirals, slowly unfolding, or conversely, brief explosions setting the whole sky aflame. A line of light would be created by a sufficiently large multitude of points of light appearing and disappearing instantaneously.

[Un sonido complejo puede ser concebido como un fuego artificial de mútiples colores en el que cada punto de luz aparece y desaparece instantaneamente en contra de un firmamento negro. Pero en este fuego artificial habría tal cantidad de puntos de luz organizados de tal manera que su sucesión rápida crearía formas y espirales, desplegando lentamente, o inversamente, breves explosiones que hacen incendiar todo el cielo. Una línea de luz debería ser creada por una gran multitud de puntos de luz que aparecen y desaparecen instantaneamente.]

Hemos subrayado un aspecto en este texto de Xenakis: la idea de que son los movimientos de aceleración y lentitud con los que aparecen los granos lo que determina el carácter específico del cuerpo compuesto que ellos forman. En este aspecto, la concepción que tiene Xenakis de la composición o síntesis granular parece coincidir con la idea spinozista, en la versión de Deleuze, según la cual son las relaciones cinéticas, de movimiento y reposo entre partículas lo que define la constitución de un cuerpo. Además de este aspecto cinético, Deleuze destaca otro aspecto dinámico: cada partícula se caracteriza por su poder de afectar a otras o de ser afectadas por éstas.

Por un lado, un cuerpo, por muy pequeño que sea, comporta siempre una infinidad de partículas: son las relaciones de reposo y de movimiento, de velocidad y lentitud entre particulas, las que definen el cuerpo, la individualidad del cuerpo. Por otro lado, un cuerpo afecta otros cuerpos distintos o es afectado por ellos; este poder de afectar o de ser afectado define también un cuerpo en su individualidad.

Cimini precisa muy bien el punto en el que el procedimiento de Xenakis, y por tanto su concepción de la composición, se aleja del plateamiento deleuziano. Ambos conceptos coinciden en el aspecto cinético: para Xenakis y para Deleuze la forma de un cuerpo está determinada por las relaciones de velocidad y lentitud de las partículas que lo forman. En cuanto al aspecto dinámico, de acuerdo con Cimini, no habría coincidencia entre ambos enfoques, ya que la manera como Xenakis se representa el movimiento de los granos supone dos ejes, el de las frecuencias y el de las intensidades, ambos limitados por fronteras preestablecidas acerca de lo que los humanos podemos percibir.

En su sistema de representaciones, a través del cuáles Xenakis busca modificar a voluntad el cuerpo sonoro mediante un control consciente del movimiento de los granos, cada partícula es abstraída de su relación indispensable con las otras, de manera que se pierde la vitalidad de la infinita red de relaciones dinámicas de la que deriva el carácter propio de cada grano. De hecho, si cada grano o partícula puede componerse con otros para constituir un cuerpo mayor es gracias a la apertura que los caracteriza y define, la cual se funda en su poder de afectar y de ser afectado. Esto es lo que queda suprimido en la representación de Xenakis.

Sistema de representación de la distribución de granos sonoros establecida por Xenakis. Como puede observarse, los granos son encerrados entre límites establecidos por la percepción natural. En este caso, límite auditivo de intensidad (eje vertical) y límite audible de alturas (eje horizontal)  De esa manera, quedan aislados del infinito cuerpo contínuo que constituyen y comunican a través de sí y sus afectos.

Este aspecto dinámico de los individuos nos permite entender un pasaje de Nietzche y la Filosofía donde Deleuze sostiene, en contra de una idea activa del poder, que poder es poder de ser afectado:

La relación de las fuerzas se determina en cada caso, siempre que una fuerza sea afectada por otras, inferiores o superiores. De donde se desprende que la voluntad de poder se manifiesta como un poder de ser afectado. Este poder no es una posibilidad abstracta: se cumple y se efectúa necesariamente en cada instante por las restantes fuerzas con las que la primera está relacionada /. . ./. Spinoza pretendía que a cualquier cantidad de fuerza corespondiese un poder de ser afectada. Un cuerpo tenía tanta mas fuerza en cuanto podía ser afectado de un mayor número de maneras; este poder era el que medía la fuerza de un cuerpo o el que expresaba su poder. Y, por una parte, este poder no era simplemente una posibilidad lógica: a cada instante era realizado por los cuerpos con los que estaba en relación. Por otra parte, este poder no era una pasividad física: sólo eran pasivas las afecciones de las que el cuerpo considerado no era causa adecuada (p. 90).

En este pasaje se explica muy bien el aspecto dinámico de las fuerzas y de las partículas. La caracterización de cada grano no debería ser abstraída de su relación con otros, ya que esta caracterización sólo se da en una red de afecciones que extienden cada grano al infinito.

En la imagen deleuziana del cuerpo musical, las partículas constantemente están sufriendo alteraciones debido a la forma como se componen con otras. Esas alteraciones expresan la realización de una de las capacidades infinitas articuladas por la proporción (ratio) constitutiva de movimiento a reposo. En esta imagen, las partículas expanden el rango de actividades que su proporción constitutiva puede acomodar, mover más cerca o lejos de las capacidades delineadas por esa proporción. Este aspecto de la ontología de los granos es el que está ausente en el procedimiento compositivo de Xenakis, ya que él trata cada grano haciendo abstracción de su relación afectiva con los otros. Xenakis trata los granos como entidades autónomas separadas del cuerpo infinito del que forman parte.

La tesis más interesante que desarrolla Cimini en su ensayo es la proyección del infinito afectivo que constituye el cuerpo de granos en eterna y constante vibración hacia el proceso mental de creación de conceptos. Destaca Cimini que la ontología inmanentista y monista de Spinoza, donde mente y cuerpo se encuentran profundamente enlazados como aspectos distintos de una misma substancia, además de establecer una fuerte limitación a la consideración particularizada y abstracta de los individuos, permite una concepción del cuerpo musical en la que la apertura de los granos al infinito, más allá de las capacidades preestablecidas para la audición, puede revelar aspectos del cuerpo sonoro que necesariamente extienden el pensamiento fuera de los procesos conscientes hacia el desarrollo de nuevos conceptos. Como si el cuerpo musical, su poder afectivo, constituyera un plano descentrado sobre el que emergen conceptos impensados.

Para Deleuze se trata de adquirir conocimiento de los poderes del cuerpo con el fin de descubrir, en forma paralela, poderes de la mente que escapan a la consciencia. Al comparar mente y cuerpo deberíamos comprometernos en una comparación de poderes que nos conduce a descubrir más en el cuerpo que lo que sabemos y por lo tanto más en la mente que lo que estamos conscientes. Sin una ontología que ofrezca una fundamentación robusta de las relaciones mente cuerpo es difícil ver cómo las demandas que hace Xenakis sobre nuestras capacidades auditivas podrían catalizar un incremento paralelo en nuestra capacidad de producir conceptos mentales.

Aquí  las exigencias hechas a la percepción, a las capacidades auditivas, deberían implicar al mismo tiempo un incremento en nuestra capacidad de producir conceptos mentales. Esto supone una doble concepción de la mente como una entidad imbuida o incrustada en un mundo y, de esta manera, extendida hasta el infinito a través de conexiones afectivas que determinan el ámbito o espacio de variación de las partículas o granos simples.


Referencias

Campbell, Edward (2013): Music after Deleuze. London: Bloomsbury Academic.

Cimini, Aby (2010): «Gilles Deleuze and the Musical Spinoza». In Hulse, Brian and Nick Nesbitt: Sounding the Virtual: Gilles Deleuze and the Theory and Philosophy of Music. Great Britain: Ashgate Publishing Limited, 2010.

Deleuze, Gilles (1971): Nietzche y la Filosofía. Barcelona: Editorial Anagrama.

Deleuze, Gilles (1984): Spinoza: Filosofía Práctica. Barcelona: Tusquet editores.

Xenakis, Iannis (1992): Formalized Music: Sounds and Mathematics in Composition. New York: Pendragon Press.

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Combinación: entre el timbre y la altura

Vimos en la pasada entrada que Laurie Speigel presenta una lista de patrones musicales que podrían reunirse en la biblioteca de un programa de composición algorítmica. El décimo patrón de la lista lo llama combinación:

«Términos sinónimos familiares de combinación son mezcla, superposición  de sonidos, y también «armonía» y «contrapunto». Se trata, por ejemplo, de la combinación de diversas estructuras como la armónica y la métrica, en una manera general, global y coherente. En esta esta operación no podemos estimar el grado con que cada entidad combinada mantiene una identidad que se puede percibir separadamente, en oposición a la pérdida de esa individualidad, para fundirse, combinarse con otros componentes elementales en una textura unificada simple, mayor, más amplia. Spiegel se refiere también a la manera como un enfoque contrapuntístico, lineal, en el que se combinan varias líneas melódicas, podría quedar disuelto por las armonías que podrían conformar las notas de las melodías al producir una secuencia de acordes en la que desaparecería la autonomía de las líneas.»

Es un patrón bien oscuro porque supone la combinación de perspetivas y dimensiones, moverse en un territorio ambiguo entre un punto de vista líneal, que se despliega en el tiempo, y un punto de vista instantáneo, que podríamos concebir como un despliegue espacial, aunque en realidad no lo sea. Se trata de la dimensión de la armonía, de los acordes, los clusters, incluso de la superposición de líneas melódicas, como ocure en la música esencialmente contrapuntística.

Comienzo del Contrapunto VIII del Arte de la Fuga de Bach.

El ejemplo aquí presentado de un fragmento de una obra de Bach es comentado por Robert Erickson en su libro La Estructura de la Música.

«Aquí todo es melodía. Del principio al fin de la obra, cada voz independiente posee una integridad musical propia. Las melodias no se ven determinadas por los acordes / . . ./ Los acordes, por muy importantes que sean para el sentido total de la obra, son engendrados melódicamente. El compositor no los ha concebido como una masa de sonidos sólidas e independientes, sino más bien como puntos de encuentro o reuniones de sonidos. Cada nota ha llegado allí procedente de alguna parte y en seguida se marcha con dirección a otra. Los acordes producidos por encuentros de esa naturaleza son 'incidentales' en el sentido de que la estructura básica de la música no deoende de ellos /. . ./. la estructura musical es el producto de la expansión y desarrollo de varias melodías relacionadas entre sí [pp. 14-15].

El patrón combinatorio se produce aquí por la superposición de melodías en contrapunto, donde las notas van encontrándose para generar al mismo tiempo una secuencia armónica coherente.

Esta ambigüedad por combinación también se forma entre bloques de acordes producidos por la superposición de varios sonidos y sonoridades homogéneas con timbre o color específico. James Tenney, en MetaHodos, su tesis de maestría, estudia este tipo de ambigüedad. Tenney comenta que uno de los aspectos que mejor caracteriza  aquella nueva música es su creciente complejidad auditiva, pues incluso los componentes más básicos evidencian ser estructuras más o menos complejas, no sonidos simples. Un ejemplo de tales estructuras sería el cluster (racimo de notas), el cual constituye un evento sonoro complejo en el que no podemos  distinguir los elementos básicos constituyentes. Algo parecido ocurre con ciertos acordes empleados en la música atonal, como los que podemos encontrar en algunas obras: son acordes en los que no podemos establecer una función o dirección armónica porque "es limitada la  percepción de la altura de esos densos complejos sonoros''.

En el caso de los racimos sonoros (clusters) apenas distinguimos uno de otro por las dificultades relativas que presenta a las capacidades analíticas del oído. Por eso, sólo en algunos de estos racimos es posible una definición de su altura específica y su orientación armónica. Si revisamos como son usados estos racimos en composiciones encontraremos que los clusters suelen ser tratados como percusión. No es una coincidencia que hayan comenzado a usarse en la época en que aparecen obras escritas exclusivamente para instrumentos de percusión cuyos sonidos son de altura indefinida.

Fragmento al final de Ionización para instrumentos de percusión, de Edgard
Varèse,  donde hay  un uso especial de racimos sonoros sobre el piano

En estas formaciones complejas no sólo se hacen indeterminados los componentes individuales de las sonoridades, también se produce una ambigüedad entre la altura y el timbre, más que entre acordes y sonoridades, ya que ciertas superposiciones de sonidos pueden ser de tal manera que los sonidos parecieran disolverse en una unidad sonora homogenea que al final terminamos percibiendo como un sonido con altura propia, definida o indefinida. En los ejemplos de «An Introductory Catalog of Computer Synthesized Sounds», Jean Claude Risset describe uno de los sonidos hechos por computadora como: 

«un intento de prolongar la armonía hacia un timbre generado en una manera similar a la modulación en anillo, el cual es semejante a un sonido tipo gong cuyos componentes son las fundamentales del acorde. El último sonido es percibido como una totalidad más que como un acorde, aunque todavía su cualidad sonora está claramente relacionada con la armonía de un acorde» [A103].

Erickson observa, en Sound Structure of Music, que las transformaciones de un acorde en una condicion de fusión donde uno escucha sólo «un sonido» sin niguna altura particular han sido raras en la música, con excepción de la música de Edgard Varèse: «Estos timbres tienen una individualidad marcada y las alturas que conforman el acorde son difíciles de escuchar. Los timbres de los instrumentos individuales parecen perder su posibilidad de ser identificados--se funden en un timbre.

Fragmento de Hyperprism (1923) de Edard Varèse

Varèse inventó estructuras verticales de sonidos que eran tan altamente individualizadas que no logramos explicarlas empleando términos tradicionales como acorde, doblaje o conducción de voces. El propio Varèse llamó a estas sonoridades «masas sonoras», «interacciones», «proyecciones», pero nunca publicó nada donde explicara estos conceptos.

Ya hemos mencionado en un post pasado el concepto de melodía de timbres y como Schoenberg lo desarrolló en el terecer movimiento de sus Cinco piezas para orquesta, También Anton on Webern tiene una obra, Seis Piezas para Orquesta Op. 6 (1909) con sonoridades fascinantes de este tipo. Encontramos acordes de cinco, seis y siete sonidos donde los sonidos individuales se funden de tal manera que pueden ser escuchados como un sonido.sobre todo cuand os instrumentos de percusión agregan refuerzo espectral.

Fragmento del segundo moviminto de los Seis Estudios para 
Gran Orquesta Op. 6 (1909)  de Anton von Webern

Se trata de un acorde con diez elementos que no puede ser analizado en sus alturas constituyentes. Los platillos dificultan la audición de las alturas individuales, pero incluso cuando está ausente hay trinos en los clarinetes, las trompetas, así como pizzicatos en los violines, compuestos como parte del grupo de percusión en contra de las maderas, lo que promueve la fusión.

Otros ejemplos estudiados por Erickson pertenecen a obras de Varèse. En Octandre, por ejemplo, encontramos pasajes que demuestran que la cualidad del timbre de las sonoridades complejas cambian con la intensidad.

Pasaje de Octandre (1924) para siste instrumentos de viento y contrabajo, de Edgard Varèse

Varèse tendía a hablar en términos espaciales. Para él los sonidos eran objetos que ocupaban un espacio y formaban figuras en posiciones específicas. Eran concretos y podíamos tocarlos. Los comparaba con piedras de granito de diferentes texturas que se pueden apreciar a través del tacto.

Pero su concepto principal era el de masas de sonidos.

Pasaje de Integrales (1924-25) para vientos y percusión

El análisis de Erickson es revelador: hay dos masas sonoras perfectamente diferenciables al comienzo del compás 5 de Integrales. La primera incluye pícolos y clarinete en si bemol, un conjunto tímbrico fusionado. La otra consta de tres trombones y  es cercana a un acorde. Otro sonido en el compas cuatro, formado por un gong y un tam-tam, se puede considerar otra masa sonora, un conjunto tímbrico fusionado. Un tambor tenor promueve la fusión a través de la banda amplia de ruido que produce. Tenemos entonces que diferentes figuras o grupos de sonido van cambiando constantemente en figura.

Varèse empleaba estructuralmente figuras o grupos de sonidos, las masas sonoras, como él mismo las llamaba. Crea capas de sonido que ocupan una posición en el espacio de alturas. Podemos identificar bandas o estratos de sonidos en muchos pasajes de sus obras. El progreso de la música depende del flujo fusionado o separado de los estratos. Cuando cada estrato es en sí mismo un conjunto tímbrico fusionado, la estructura musical es la de un sonido que tiende a la separación y a la mezcla, sonido organizado.

El rol del color y el timbre ya no sería incidental, anecdótico, sensual ni pintoresco; se convertiría en un agente de delineación como los diferentes colores sobre un mapa que separa diferentes áreas; el timbre es ahora una parte integral de la forma. Esto lo confirma el compositor norteamericano James Tenney en su libro Meta-Hodos. Propone estudiar cada parámetro sonoro de las obras y representar cada uno en graficos diferentes, los cuales deberíamos poder superponer para comparar y verificar las relaciones entre cada aspecto de una obra.

Análisis y comparación realizado por Tenney de dos parámetros, altura e intensidad, en un fragmento de Densidad 21.5 para flauta sola de Edgard Varèse.

Encontraremos que los aspectos sobresalientes varían de una obra a otra, incluso dentro de una misma obra: «Mientras que antes la resposabilidad de la articulación de las ideas musicales la tenía principalmente el parametro altura, los otros parametros han comenzado más  más a cargar con esta responsabilidad, a veces sustituyendo la función de la altura».

De acuerdo con Erickson, en la obra Desserts (1954)  Varèse logra cumplir muchos de sus anhelos como compositor y creador. Compone masas que se proyectan en el espacio, se libera de la entonación temperada, logrando una música donde ningún parámetro se destaca ni tiene un rol privilegiado. Toda la obra es una unidad entremezclada que «fluye como fluye un río», frase que podríamos haber tomado de los escritos de Barry Truax. En Desserts Varèse lleva a cabo sus ideas acerca de la organización de masas sonoras. La organización tímbrica es extremadamente variada y refinada. La fusión y separación de sonoridades es un proceso más contínuo y las dinámicas son un elemento formal completamente integrado, con frecuencia cuidadosamente escrito por cada pulso individual. La separación y fusión sonoras son compuestas sobre un contínuo tímbrico.

A manera de conclusión

Las ideas de Laurie Spiegel acerca de los patrones musicales, presentadas como lo hizo, con gran apertura a la interpretacion, podemos aplicarla no sólo a la estructura de la obra y mantenernos en la disntinción entre estructura y sonoridad. Su idea acerca de un patrón de combinación y la manera cómo lo define permite considerar la presencia de ese tipo de patrones en aspectos musicales descuidados por la tradición pero que encontramos bastante desarrollados en la obra de compositores del siglo XX, como Edgard Varèse, quien tenía un pensamiento musical dirijido a una estructura de la obra considerada como un flujo contínuo, en donde no tiene sentido buscar motivos melódicos característicos empleados como bloques de construcción. Si estamos pensando entonces en la confección de un patrón musical que pueda completar la función de combinación, deberíamos antes considerar una especie de teoría acerca de la organización del sonido sobre la cual diseñar los algoritmos que, tomando listas de valores, pudiesen desplegar procesos musicales como los concebidos y realizados por Varèse en sus obras.

Referencias

Erickson, Robert (1959) La Estructura de la Música. Barcelona: Vergara editorial.

Erickson, Robert: Sound Structure in Music. Berkeley: University of California Press, 1975.

Risset, Jean Claude (1969) «An Introductory Catalog of Computer Synthesized Sounds». New Jersy: Bell Telephones Laboratories.

Spiegel, Laurie (1980): «Manipulation of Musical Patterns». In Proceedings of the Symposium on Small Computers and the Arts, Oct. 1981, IEEE Computer Society Catalog No. 393, pp.19-22.

Tenney, James (1988) Meta/=Hodos and META Meta/=Hodos. Publicada originalmente en inglés en Journal of Experimental Aesthetics (Volumen 1, Numero 1, 1977). Traducción: Wim Forstman.

Laurie Spiegel: una teoría de los patrones musicales

Laurie Spiegel es una compositora americana que trabajó en los Bell Laboratories en el área de gráficos por computadora. Es conocida por ser pioner en la aplicación de enfoques algorítmicos en composiciones asistidas por computadora. Realizó importantes aportes en la realización de música visual, y aplicó sus teorías y métodos en trabajos que realizó para la Experimental Television Lab at WNET Thirteen, New York.

Escribió un breve ensayo donde presenta una teoría de los patrones musicales: «Manipulation of Musical Patterns». Ella observa que la música no sólo está hecha de notas simples. Las notas deben ser organizadas o compuestas para formar configuraciones mayores de tipos diversos que suelen ser llamadas células o motivos, los cuales pueden ser tratados como patrones muy bien definidos y perfectamente identificables. 

I've discussed in other writings the idea that music, which is all too often thought of in terms of tiny sonic entities called "notes," effectively consists of larger configurations. Such musical patterns (including chords, motifs, melodies, rhythms, meters, harmonic progressions, etc. right up to sonatas and symphonies) can be created, described, stored, encoded, orchestrated, and interpreted in a wide variety of ways.

No habría música si estuviera hecha exclusivamente de sonidos. Hay música cuando los sonidos son organizados de cierta manera y se crean configuraciones relativamente complejas, que podemos reconocer como alguna forma de unidad. Si no podemos separar un bloque sonoro del resto, entonces nos queda sólo el eterno fluido de los sonidos de la cotidianidad. Es la definición de patrones perfectamente identificables por el oyente uno de los principales aspectos que nos permite abstraer la obra musical y separarla del resto de sonidos cotidianos que invaden el entorno.

Esas configuraciones reflejan regularidades que permiten su identificación. Decimos que dos patrones son idénticos y no los diferenciamos si conservan las mismas regularidades. Como pueden ser identificados con claridad, los patrones musicales tienen la peculiaridad de que, además de ser creados, pueden ser descritos, almacenados, codificados, orquestados e interpretados en muchas maneras.

Las opciones más efectivas para el tratamiento de los patrones dependen del material usado, el cual a su vez depende de la naturaleza (estructura y función) de las configuraciones musicales mayores y de cómo los materiales específicos se adaptan a ellas. Por esto, la forma definitiva que queremos que tome una composición, y el proceso de desarrollo y transformación que intentamos usar al crearla, son consideraciones importantes en el diseño de los patrones musicales que vamos a usar en las obras. Por ejemplo, el diseño de un buen sujeto constituye uno de los mayores pasos en el proceso de escribir una fuga. Los patrones musicales deben ser diseñados de manera que puedan recurrir en cualquier momento, ser recombinados y sujetos a transformaciones. Las posibilidades de su tratamiento y el resultado general que se espera determina en gran medida la propia elaboración o construcción de los patrones.

Los patrones pueden ser anidados, es decir, pueden contener cualquier tipo y cantidad de subpatrones. Un subpatrón define una colección ordenada de elementos dentro de un patrón circundante. Gracias a esto, las características de un patrón pueden cambiar y evolucionar de acuerdo a cómo van variando los subpatrones que contiene.

Primeros compases de la Sonata para Piano Op. 2 No. 1 de Bethoven. Es un ejemplo del empleo de patrones anidados

La melodía de los compases 3 y 4 es la de los compases 1 y 2, pero transportada un tono hacia arriba, con armonía de dominante y sin anacrusa

La melodía de los compases 5 y 6 consta del motivo del compás 2 seguido del motivo del compás 4

Spiegel oberva ademas que el proceso de crear música no se reduce al diseño de patrones sonoros ya que también se necesita conocer los procesos de transformación que podemos aplicar a esos patrones para lograr resultados estéticos satisfactorios.

The process of creating music involves not only the ability to design such patterns of sound, but a working knowledge of all the processes of transformation which can aesthetically be applied to them. Beyond these there needs to be a practised awareness of how such materials and operations, and the specific characteristics of each, relate to and influense each others' potentials.

Es importante, además, saber cómo las operaciones de transformación pueden ser aplicadas a los diversos materiales, cuál es el resultado de aplicar esas operaciones a patrones dados, conocer como se influyen entre sí operaciones y materiales, las potencialidades de los patrones y los materiales de ser tratados de cierta manera para alcanzar fines previstos. Es necesario entonces considerar los procedimientos particulares que se pueden aplicar a los patrones para crear configuraciones musicales mayores, tales como las transposiciones posibles, y también tener idea de las combinaciones complejas: por ejemplo, podemos estudiar como la aplicación de transposiciones al sujeto de una fuga es una parte del proceso más amplio que constituye una fuga en su totalidad. Podemos también tomar como modelo el plan tonal tradicional de una sonata.

En su ensayo, Spiegel ofrece una lista comentada de doce procesos básicos efectivos para la manipulación de patrones. Estos procedimientos podríámos tratarlos como operaciones y a los patrones como los objetos sobre los que operamos, es decir, las cosas sobre las que aplicamos esas operaciones. Este conjunto de operaciones podría ser reunido en la biblioteca de funciones de un programa de computadora diseñado para hacer música a través de la manipulación de patrones. Spiegal espera que, a trav és de su analisis, sea posible cumplir cuatro objetivos:

1. Que las transformaciones estudiadas puedan ser incorporadas como herramientas o programas de composición musical que permitan tratar eventos musicales así como, por ejem[plo, son tratadas las cadenas de caracteres en programas de edición de texto.
2. Que la biblioteca de transformaciones que ella propone pueda ser usada en el desarrollo de una aproximación a la música de computadora más orientada a los procesos que a las entidades, sin abandonar principios y prácticas que se hayan generado música exitosamente en otras épocas.
3. Que esto pueda suministrar un modelo distinto que pueda ser útil para incrementar nuestro conocimiento de la música, en el desarrollo de un arte temporal visual que apenas comienza a evolucionar y a ganar profundización en la percepción humana.
4. Que la descripción en términos de un vocabulario conceptual orientado transformacionalmente pueda evolucionar a un vocabulario y sintaxis más apropiado para la descripción, comprensión y creación de experiencias en el tiempo, para todas las artes temporales autoreferenciales, de la cual la música es un ejemplo puro.

A continuación resumimos los doce procesos de transformación propuestos por Spiegel, presentando ejemplos musicales que ilustran como esos procesos pueden funcionar en música. Casi todos sos ejemplos son tomados de música de siglos pasados.

1. Transposición

La transposición es una operación que consiste en agregar un desplazamiento de magnitud fija a lo largo de un patrón. Esta técnica se ha podido aplicar con éxito notable a patrones de altura, pero puede ser aplicada también a otros aspectos, tal como la amplitud, la riqueza armónica y el tiempo. El movimiento «paralelo'» (simultáneo) de dos «voces'» (tal como el organum medieval) podría
ser descrito como un patrón de cambio en contrapunto con su propia
transposición.

Aunque la repetición y el retardo (o desplazamiento) podrían ser tratados como transposiciones a lo largo del eje del tiempo, Spiegel prefiere tratarlas en forma separada, de manera que quede mejor reflejado cómo estos subprocesos  son considerados en la música y clarificar mejor las circunstancias de sus usos.

2. Reversión

Se aplica a lo largo de cualquier eje, como en el canon retrógrado (reversión temporal) o la inversión (generalmente a lo largo del eje de alturas, lo que llamamos el espejo), sin cambio del contenido, orden, magnitud o proporción de la estructura interna de los patrones.

Ejemplo de canon retrógrado. La voz inferior es el retrógrado exacto de la voz superior

Podemos aplicar reversión a las posiciones de dos patrones, por ejemplo, tal como en el contrapunto reversible o cuando se intercambia la posición de frases antecedentes y consecuentes. También es posible aplicar reversiones internas a los patrones, las cuales involucran cambios uniformes de dirección en un patrón simple: inversión de una línea melódica, donde, por ejemplo, cada salto de un intervalo de quinta justa descendente en una melodía se convierte en un salto de una quinta justa ascendente.

Ejemplo de canon en espejo. Salto ascendente en la voz superior es imitado como un salto descendente en la voz inferior

La reversión puede ser considerada como una operación que implica direccionalidad, es decir, orden secuencial (linealidad), y requiere un punto central alrededor del cual puede ocurrir una reversión (punto pivote).

Las reversiones sincrónicas de subelementos o de aspectos múltiples de patrones retrogradados (tal como la reversión de las envolventes de notas dentro de una secuencia melódica retrogradada) podría ser descrita mejor como un conjunto de reversiones anidadas o controladas (en par o agrupadas), para distinguir y enfatizar la independencia de patrones musicales de niveles arquitectónicos de organización en patrones. En términos matemáticos, se trata de una composición de funciones, donde una operación de reversión se aplica al resultado de la aplicación de otra operación de reversión a un objeto patrón.

3. Rotación

La rotación consiste en mover algo (un evento, una localidad, la posición de uno
mismo) desde un punto terminal final de un grupo ordenado al otro punto terminal del mismo grupo, o mover una entidad  única, componente, a través de  una entidad cíclica mayor.

Rotación del elemento a del frente hacia atrás.

pos. inicial	a b c d
desplazar primer par	b a c d
desplazar segundo par	b c a d
desplazar último par	b c d a

Lo que los músicos llaman inversiones de acordes  podrían ser descritas mejor como rotaciones, pues son el movimiento de una discontinuidad única (un desplazamiento de octava) a través de un grupo cíclico de intervalos fijos.

4. Desplazamiento de fase

Un desplazamiento de fase es la rotación relativa a otro patrón cíclico u otra instancia del mismo patrón, por ejemplo, un canon o una ronda. La fase puede ser definida algo arbitrariamente como un dominio de operación, mientras que la rotación puede ser considerada como una transformación interna (auto contenida).

Diferentes  aspectos (parámetros) de un tema multidimensional  (un «patrón compuesto») también pueden entrar en fase con otros. En el motete isorítmico medieval, la dimensión de la altura («color») y la del ritmo («talea») de un patrón eran de tamaños distintos, de manera que durante el curso de la pieza, uno de estos aspectos podía entrar en  «fase» con el  otro (por  ejemplo, el tamaño la secuencia de alturas podría ser tres cuartos el tamaño de la secuencia rítmica, por lo que debería repetirse cuatro veces mientras que el  patrón rítmico solamente tres veces para entrar nuevamente en fase) antes de  que la pieza termine.

De nuevo, esta categoría podría ser entendida como una forma de otra, la rotación, pero Spiegel la considera en forma separada por razones de comprensión y utilidad musical.

5. Rescalamiento

Un reescalado supone la expansión o contracción del rango de un conjunto de relaciones sin alterar las proporciones internas. Las distancias son cambiadas, pero no las proporciones. Por ejemplo, la aumentación o disminución rítmicas, las escalas microtonales temperadas, la ejecución de un patrón rítmico en un tempo diferente.

En este fragmento las dos voces inferiores son una versión aumentada de la voz superior

La curva de Kosh es un fractal donde se crea una figura repitiendo en forma reescalada una figura triangular inicial

La reversión podría ser considerada como un subproceso del reescalamiento (por un factor de -1), ya que el escalamiento es una forma de multiplicación.

6. Interpolación

Interpolar es introducir un relleno entre dos puntos previamente establecidos. Podemos presentar varios ejemplos. La inserción de una rampa suave entre dos valores separados en forma discreta, como en el caso del glissando; la superposición, sobre acordes que se mueven lentamente, de una melodía que se desplaza rápidamente, tal como ocurre con las disminuciones melódicas, es decir, el proceso que consiste en tomar el intervalo formado por dos notas de una duración relativamente larga y expresar ese mismo intervalo como una secuencia de notas de duraciones más pequeñas, que juntas suman la duración mayor original (en este proceso se introducen notas de pasos, bordaduras, saltos consonantes, arpegios); la introducción de acordes adicionales entre acordes ya dados; el uso de adornos con trinos u otros tipos de ornamentaciones. 

Las disminuciones son comunes en la práctica renacentista de «interpretar divisiones» (interpretar variaciones sobre un tema) fue un  método para extender patrones más cortos en composiciones  más amplias por medio de interpolación armónica. También son dignos de considerar al respecto el tropo y el melisma medievales.

7. Extrapolación

Una extrapolación no es sino una extensión más allá de lo que ya existe pero preservando la continuidad, para prolongar más el objeto original. Esto nos introduce en el terreno de la imaginación sensible creativa. Lo que describimos como «evolución libre'» del material musical frecuentemente consiste en la aplicación de esta operación sobre patrones existentes.


8. Fragmentación

Hay fragmentación cuando se aísla, generalmente con propósitos de manipulación separada, a un subpatrón que ha ocurrido o ha sido establecido como parte de una configuración mayor. Haydn y Beethoven pueden ser los compositores más famosos que se destacan, entre otras cosas, por su destreza en este tipo de «desarrollo motívico», pero podemos encontrar también  este tipo de manipulación en los episodios fugados de Bach, donde se aplican  transformaciones específicas a fragmentos de los sujetos de la fuga.

Generalmente, la fragmentación se aplica a lo largo del eje del tiempo, pero también puede ser aplicada a través de la separación de diferentes parámetros de patrones compuestos (altura, duración, articulación, orquestación, etc.), especialmente con la nueva libertad conceptual que nos permiten la electrónica y  las matemáticas.

9. Sustitución

La sustitución consiste en el cambio, por otro objeto, de una entidad particular dentro de  un grupo, de un patrón definido sobre un  grupo de patrones, de un evento en  una secuencia que es diferente a la que el oyente tiende a esperar (por ejemplo, una cadencia rota clásica), de un acorde o una melodía en una progresión de acordes, de la instrumentación de una exposición (lo  cual suele hacerse en una reexposición), o como parte de un grupo de operaciones coordinadas sobre un material (un «intercambio» podría ser descrito como una substitución simétrica y bidireccional).

Adagio de la Sonata para piano Op. 2, No. 1 de Beethoven. Los compases 5 a 8 son una forma variada de los compases 1 a 4, donde los compases 6 a 8 son introducidos como una sustitución de lo compases 2 a 4.

Una sustitución sólo se hace evidente si la versión original de un  patrón (o grupo de patrones) ha sido bien establecida, haciendo reconocible o identificable al patrón a través de las  repeticiones o por un diseño marcado, y si se  preserva lo suficiente  del original después  que la sustitución  ha sido realizada para hacer notable el cambio. Esto plantea la cuestión de hasta qué punto el uso de  patrones en música debe ser percibido con consciencia para que se puedan brindar las experiencias que esperamos de la música.

Los sistemas de Lindenmayer son un conjunto simple de reglas de sustitución que permiten extrapolación a partir de un elemento u objeto básico. Esta figura se logra sustituyendo la A por AB y la B por A

Con los sistemas de Lindenmayer podemos crear figuras complejas similares a plantas a partir de figuras muy simples

10. Combinación

Términos sinónimos familiares de combinación son mezcla, superposición  de sonidos, y también «armonía» y «contrapunto». Se trata, por ejemplo, de la combinación de diversas estructuras como la armónica y la métrica, en una manera general, global y coherente. En esta esta operación no podemos estimar el grado con que cada entidad combinada mantiene una identidad que se puede percibir separadamente, en oposición a la pérdida de esa individualidad, para fundirse, combinarse con otros componentes elementales en una textura unificada simple, mayor, más amplia. Spiegel se refiere también a la manera como un enfoque contrapuntístico, lineal, en el que se combinan varias líneas melódicas, podría quedar disuelto por las armonías que podrían conformar las notas de las melodías al producir una secuencia de acordes en la que desaparecería la autonomía de las líneas.

Se puede especular que el poder de la música de Bach reposa en gran parte en su capacidad de girar sobre el punto de balance entre dos modos de percepción, el antiguo modo paralelo (polifónico, contrapuntístico) y el modo de grupos en secuencia, que es más nuevo, (homofónico, armónico). Spiegel considera un gran reto para el trabajo musical por computadoras la creación de herramientas tecnológicas que puedan permitirnos determinar el balance sobre ejes de percepción en los dominios de figura/fundamental, armonía/timbre, sucesión/continuación, etc.

11. Secuenciación

Atrapada entre términos tan familiares como «anexo» o «empalme» y «supresión», la secuenciación es realmente la dimensión temporal de la «combinación». Se pone énfasis aquí en la audición y, por lo tanto, en la  música, considerada como una manifestación que da cuerpo a un refinamiento mayor de la sensibilidad hacia la transición en el tiempo más que hacia el sentido visual. El dominio visual, en oposición al auditivo, exige una sensibilidad más refinada hacia las distinciones y combinaciones de los eventos simultáneos. Las transiciones secuenciales involucran la construcción de rutas a lo largo de ejes que podríamos  definir como «disjuntos /  conjuntos /  superpuestos», o «continuos / discretos». Cada vez que hay una transición continua, su rango y su curvatura son dimensiones musicales altamente expresivas.

12. Repetición

Las formas musicales más poderosas se han basado en la repetición (canon, fuga, pasacaglia, sonata, rondó, variaciones, canciones estróficas, etc.).

 

J,S. Bach. Canon Perpetuo a 4 voces en La Menor

En música, la repetición puede aplicarse dentro de una misma melodía, como es evidente en la famosa melodía del comienzo del primer tema de la Sinfonía No. 40 en Sol menor de Mozart. Al estar hecho básicamente sobre dos pequeños motivos (A y B en la figura), es inevitable la repetición como método de construcción.

Vale la pena comentar que Carlos Chávez en su libro El Pensamiento Musical presenta una valoración estética y cognitiva de la repetición en música. Recordemos, como mencionamos en otro post, que la música, como observó Marvin Minsky, es un proceso caracterizada por un alto contenido de redundancia (Cf. Minsky, 1981). Desde el punto de vista cognitivo, es una observación importante desde el punto de vista cognitivo, ya que la repetición juega un papel esencial en el aprendizaje. Pero para Chávez, la repetición además «se halla en todos los fenómenos de la naturaleza en sus procedimientos repetitivos». Siendo el arte imitación de la naturaleza, debe el arte incluir los procesos a través de los cuáles la naturaleza nos enseña. De hecho: «la repetición es una forma de hacernos entender de modo rápido e inequívoco, como en los encatamientos» [p. 65].

Además de esta valoración cognitiva de la repetición, Chávez da una valoración

Carlos Chávez (1899-1978)

estética:

«La repetición ha sido el expediente empleado para lograra unidad con apenas la suficiente variedad, como una repuesta a la vieja e interminable discusión de la unidad y la variedad, de la semejanza y el contraste, del orden y el caos/ . . ./.

«La repetición es la condición de la simetría. Gustamos instintivamente de las distribuciones simétricas /. . . /. La repetición y la simetría son así una cuestión de equilibrio y proporción en el juego de los elementos y son, por cnsiguiente, condiciones esenciales para integrar una forma» [pp. 65-66].

Entre las consideraciones importantes que finalmente Spiegel considera que debemos tener en cuenta respecto a la repetición, se encuentran:

• el balance entre redundancia e información nueva.
• la densidad absoluta de la información nueva sobre el tiempo, incluyendo cómo cambia la capacidad humana de absorber una densidad dada.
• el uso de la repetición (reconocimiento del oyente) en contra de la continuidad (extrapolación del oyente) para  crear predicibilidad, y conducir al oyente hacia la expectativa, la hipótesis.
• cómo materiales  específicos se relacionan con las habilidades especiales de reconocimiento de patrones del oyente (incluyendo la habilidad para reconocer los originales después de que han sido sometidos a varias transformaciones) y el rol del aprendizaje en la capacidad del reconocimiento de patrones (el estilo musical introduce aquí la cuestión de los tipos de patrones y manipulaciones con los que los oyentes han desarrollado con mayor facilidad).
• el uso en música de las proporciones mencionadas arriba para manipular, entre otras cosas, la expectativa, la emoción, la fisiología, la conciencia y el pensamiento.
• el  rol de las tecnologías orientadas a procesos y basadas en la exploración de tales cuestiones estéticas, las cuales suministran herramientas a aquellos que quieren crear a partir de la sintaxis y las variables que son operantes en los diversos niveles de esas cuestiones estéticas.

El triángulo de Sierpinski, como todo fractal, se construye a través de la repetición de una misma figura.

Propiedades de los patrones

La manera cómo un patrón genera datos no sólo está influenciada por el tipo de patrón que implanta la clase sino también por un conjunto de propiedades  que influencian la manera en que se comportan los patrones. Una de las propiedades más importantes de un patrón es el tamaño del período. Todos los patrones agrupan sus datos en trozos llamados períodos. El tamaño del período de un patrón determina el número de elementos que constituye un trozo significativo de datos. Otra propiedad es la repetición, que establece un techo para el número de períodos o trozos que se le permitirá repetirse al patrón. Cuando un patrón alcanza su repetición límite, sólo generará un marcador que indica el final de los datos desde ese punto en adelante. Este marcador permite determinar cuando un patrón ha sido hecho produciendo elementos sin saber con precisión cuántos elementos producirá un patrón. Otra propiedad del patrón es el nombre, la cual permite hacer referencia al patrón más de una vez como un «motivo», un bloque de construcción, dentro de la definición de un patrón circundante.

Los patrones pueden contener cualquier tipo de datos, incluso subpatrones. Un subpatrón define un ordenamiento local de elementos dentro de un patrón circundante. Como regla general, cualquier valor especificado para un patrón puede ser reemplazado por un patrón de valores. Esta regla se aplica no sólo a los datos de los patrones, también se  aplica a muchas de las propiedades de los patrones. De esta manera las características del patrón pueden cambiar y evolucionar con los datos que genera el patrón.

* * *

Common Music y SuperCollider incluyen recursos para el trabajo con patrones. Básicamente, en ambos casos, se trata de operaciones para trabajar sobre listas o hileras (arrays) de notas o duraciones, o de valores que pueden ser interpretados como alturas o duraciones. Pareciera que estos programas podrían satisfacer las expectativas de Spiegel. Sin embargo, en el Oxford Handbook of Algorithmic Music, Roger Dean y Alex McLean publicaron un ensayo, «Perfoming with Pattern of Time», donde estudian las dificultades de llevar a la práctica el programa de Spiegel, especialmente en un contexto de una interpretación en vivo, como el live coding.

En general, estos autores señalan que las operaciones y los patrones musicales que podrían formar parte de la biblioteca de un lenguaje de programación para hacer composición algorítmica están sujetos a la manera como se interpreta y representan esos patrones. Por ejemplo, lenguajes de programación de uso general como Lisp incluyen constructos de control que facilitan la manipulación cíclica de hileras de eventos, que pueden ser notas y duraciones. Con estos constructos podemos diseñar algoritmos que realicen las operaciones que, en un nivel más alto y abstracto, un compositor quisiera realizar musicalmente. Los algoritmos son el proceso que computaría la operación de transformación que un compositor interpreta como esa operación musical que lleva un nombre como reversión o secuenciación, para tomar la clasificación de Spiegel. Sin embargo, los procesos descritos por Spiegel son tan generales que son amplias las posibilidades de interpretación, especialmente porque pueden ser aplicados a diversos tipos de objetos, a partes de objetos, a diversas dimensiones de un objeto, se pueden anidar en procesos más complejos.

Como la representación de los procesos musicales son dependientes del vocabulario y el lenguaje empleado por los sistemas para la composición algorítmica y, al mismo tiempo, los algoritmos son estructuras composicionales en sí mismas, los nombres que introduce un sistema de composición algorítmica cosntituyen entidades semánticas en el pensamiento musical del compositor o intérprete, así que dan forma al entorno de lo que puede hacerse musicalmente hablando.

Referencias

Chávez, Carlos (1964) El Pensamiento Musical. México: Fondo de Cultura Económica.

Dean, Roger y Alex McLean (2018) «Perfoming with Pattern of Time». En Dean, Roger y Alex McLean (Editors): The Oxford Handbook of Algorithmic Music. Oxford: Oxford Uni versity Press. 2018.

Minsky, Marvin (1981) "Music, Mind, and Meaning". Computer Music Journal, Fall 1981, Vol. 5, Number 3.

Spiegel, Laurie (1980): «Manipulation of Musical Patterns». In Proceedings of the Symposium on Small Computers and the Arts, Oct. 1981, IEEE Computer Society Catalog No. 393, pp.19-22